/v1/search берёт выдачу настоящим браузером и отдаёт её разобранной: не HTML поисковика, а JSON с органикой, рекламой, товарами и остальными секциями.
Разница с /v1/fetch не в адресе, а в задаче. Search знает движки и знает, где у них что лежит. Fetch не знает про содержимое ничего: адрес ваш, разбор ваш.

Первый запрос

Обязательных параметра два: q и engine. Умолчания у движка нет намеренно — иначе запрос молча уходил бы не в тот поисковик, и разбираться, почему выдача «не та», пришлось бы уже на проде.
Ответ:
search_metadata.id — номер запроса. По нему же забирается снимок и находится запрос в истории кабинета.

Параметры

gl задаёт страну выдачи, но не адрес, с которого мы приходим. Рекламу Google подбирает по IP, поэтому объявления другого рынка при несовпадении — ожидаемое поведение, а не ошибка разбора.

Устройство меняет выдачу, а не только вёрстку

device=mobile — это не «та же выдача в узкой колонке». У мобильной выдачи другой состав блоков и другой порядок органики, и сравнивать позиции между устройствами нельзя: это две разные выдачи.

Снимок выдачи

screenshot: true снимает страницу поисковика целиком — от строки запроса до пагинации, вместе с рекламой и правой колонкой. Полезен ровно для одного: убедиться, что выдача та самая, особенно когда клиент спорит о позициях.
Ссылка приходит в search_metadata.screenshot_url, само изображение отдаёт /v1/search/{job_id}/screenshot — JPEG, шириной во всю ширину устройства (1920 для desktop).
Снимок — платная надстройка: 4 кредита, и ключу нужна возможность screenshot. Если хранилище не приняло файл, ссылки в ответе не будет, а надстройка вычитается из счёта — Кредиты и права.

GET или POST

Одно и то же. GET удобен руками и в браузере, POST — когда параметров много и не хочется собирать строку запроса. Тело POST — те же имена полей.

Сколько ждать

Ставьте клиентский таймаут не меньше 180 секунд: столько же держит и сервис, дальше отвечает 504 timeout.

Дальше

Секции ответа

Полный список секций и форма каждой.

Кредиты и права

Цена запроса, движка, секций и снимка.

Ошибки

Что повторять, а что чинить кодом.

Справочник Search

Схема запроса и ответа, примеры на Python и Node.